Ja A ir m × n matrica, tad ATA un AAT ir vienādas īpašvērtības, kas nav nulles… Tāpēc Ax ir AAT īpašvektors, kas atbilst īpašvērtībai λ. Analogu argumentu var izmantot, lai parādītu, ka katra AAT īpašvērtība, kas nav nulle, ir ATA īpašvērtība, tādējādi pabeidzot pierādījumu.
Vai AAT un ATA īpašvērtības ir vienādas?
Matricām AAT un ATA ir vienādas nulles īpašvērtības. 6.5. sadaļa parādīja, ka šo simetrisko matricu īpašvektori ir ortogonāli.
Vai ATA ir tas pats, kas AAT?
Tā kā AAT un ATA ir reāli simetriski, tos var diagonalizēt ar ortogonālām matricām. No iepriekšējā paziņojuma (jo ģeometriskās un algebriskās daudzkārtības sakrīt) izriet, ka AAT un ATA ir vienādas īpašvērtības.
Vai ATA ir atšķirīgas īpašvērtības?
Taisnība. Piemēram, ja A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , tad raksturīgajam vienādojumam det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 nav atkārtotas saknes. Tādējādi visas A īpašvērtības ir atšķirīgas un A ir diagonalizējama. 3.35. Jebkurai reālai matricai A AtA vienmēr ir diagonalizējama.
Vai dažādiem īpašvektoriem var būt viena un tā pati īpašvērtība?
Divi atšķirīgi īpašvektori, kas atbilst vienai un tai pašai Īpašvērtībai, vienmēr ir lineāri atkarīgi. Divi atšķirīgi īpašvektori, kas atbilst vienai un tai pašai īpašvērtībai, vienmēr ir lineāri atkarīgi.
