Kad ābeliešu grupa ir cikliska?

2024 Autors: Fiona Howard | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-01-10 06:40

Neformāli grupa ir cikliska ja to ģenerē viens elements. Tas ir ābels, ja reizināšana mainās. Grupa ir cikliska, ja to var ģenerēt ar vienu elementu.

Vai ābeliešu grupa ir cikliska?

Visas cikliskās grupas ir Ābela grupas, taču Ābela grupa ne vienmēr ir cikliska. Visas Ābela grupas apakšgrupas ir normālas. Ābela grupā katrs elements ir konjugācijas klasē, un rakstzīmju tabula ietver viena elementa, kas pazīstams kā grupas ģenerators, pilnvaras.

Kā pierādīt, ka ābeliešu grupa ir cikliska?

Pierādījums

1. Ļaujiet G ir cikliska grupa ar ģeneratoru g∈G. Proti, mums ir G=⟨g⟩ (katrs elements G ir kāda g pakāpe.)
2. Lai a un b ir patvaļīgi elementi G. Tad eksistē n, m∈Z tā, ka a=gn un b=gm.
3. Tādējādi iegūstam ab=ba patvaļīgam a, b∈G. Tādējādi G ir ābeliešu grupa.

Kā zināt, vai grupa ir cikliska?

4 Atbildes. Ierobežota grupa ir cikliska, ja un tikai tad, ja tai ir tieši viena apakšgrupa no katra tās kārtas dalītāja. Tātad, ja atrodat divas apakšgrupas vienā secībā, grupa nav cikliska, un tas dažkārt var palīdzēt.

Kas ir cikliskās grupas skaidrojums ar piemēru?

Piemēram, (Z/6Z)^×={1, 5} , un tā kā 6 ir divreiz nepāra pirmskaitļa vērtība. ir cikliska grupa. … Ja (Z/nZ)^× ir ciklisks, tā ģeneratorus sauc par primitīvām saknēm modulo n. Pirmskaitļam p grupa (Z/pZ)^{× vienmēr ir cikliska, un tā sastāv no galīgā lauka elementiem, kas nav nulle.}