Piemērs: Gausa veselo skaitļu gredzens Z ir galīgi ģenerēts Z modulis, un Z ir Noetherian. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu Z ir Noētera gredzens. Teorēma: Noētera gredzenu frakciju gredzeni ir Noētera gredzeni.
Vai Z X ir Noētera gredzens?
Gredzens Z[X, 1 /X] ir noēterisks, jo tas ir izomorfs Z[X, Y]/(XY − 1).
Kāpēc Z ir Noetherian?
Bet Z ir tikai galīgi daudz ideālu, kas satur I1, jo tie atbilst galīgā gredzena Z/(a) ideāliem pēc Lemmas 1.21. Līdz ar to ķēde nevar būt bezgalīgi gara, un tādējādi Z ir noēteris.
Kas ir Noētera domēns?
Jebkurš galvenais ideālais gredzens, piemēram, veseli skaitļi, ir Noētera jo katru ideālu ģenerē viens elementsTas ietver galvenos ideālos domēnus un Eiklīda domēnus. Dedekind domēns (piemēram, veselu skaitļu gredzeni) ir Noētera domēns, kurā katru ideālu ģenerē ne vairāk kā divi elementi.
Kā jūs varat pierādīt, ka gredzens ir Noetherian?
Teorēma A gredzens R ir Noētera tad un tikai ja katra netukša R ideālu kopa satur maksimālo elementu Pierādījums ⇐=Lai I1 ⊆ I2 ⊆··· ir augoša R ideālu ķēde. Put S={I1, I2, …}. Ja katra netukša ideālu kopa satur maksimālo elementu, tad S satur maksimālo elementu, sakiet IN.
